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L'analisi dimensionale è uno strumento concettuale applicato frequentemente in metrologia, fisica, chimica e ingegneria per comprendere le situazioni fisiche che coinvolgono grandezze fisiche di diversa natura. È abitualmente usata da scienziati e tecnici per verificare la plausibilità di calcoli ed equazioni. È anche utilizzata per formare ragionevoli ipotesi su situazioni fisiche complesse che possono essere verificate da esperimenti o da più sviluppate teorie del fenomeno.
Le dimensioni di una grandezza fisica sono associate con simboli, come M, L, e T che rappresentano massa, lunghezza, e tempo, ciascuna elevata a un esponente razionale.
Fra le equazioni dimensionali, la formula dimensionale esprime, in un certo sistema di unità di misura, le dimensioni di una grandezza derivata in funzione delle grandezze assunte come fondamentali.
Le dimensioni possono essere trattate come grandezze algebriche, cioè le grandezze possono essere sommate o sottratte fra loro solamente se hanno le stesse dimensioni (non si può sommare un tempo con una velocità). Inoltre, poiché una legge fisica deve essere indipendente dalle unità di misura delle variabili, una semplice conseguenza è che in ogni equazione (o disequazione) fisica i due membri devono avere la stessa dimensione.
Grandezze fondamentali Vs. fisiche
Iniziamo con la differenza fra grandezze fisiche fondamentali e grandezze fisiche derivate. Bisogna fare attenzione alla trappola linguistica. Qui fondamentali e derivate non hanno lo stesso preciso significato che nella accezione comune. Non ci sono grandezze fisiche più importanti delle altre.
Grandezze fisiche fondamentali sono quelle non deducibili da nessuna altra grandezza fisica. Se ne incrontano facilmente due: spazio e tempo. Tipicamente ne vengono adottate 4: lunghezza, tempo, massa e intensità di corrente elettrica.
Grandezze fisiche derivate sono quelle che possono essere derivate attraverso una formula dale grandezze fisiche fondamentali. La velocità è una grandezza fisica derivata, infatti:
Per ottenere la velocità divido uno spazio per un tempo. Spazio e tempo sono fondamentali, la velocità è una grandezza fisica derivata. E' straordinario che tutta la fisica classica e tutto l'elettromagnetismo possano essere costruiti con sole quattro grandezze fisiche fondamentali. Non è per niente ovvio.
Detto questo cosa vuol dire considerare le dimensioni della velocità? Significa andare a vedere in che modo la velocità deriva dalle grandezze fisiche fondamentali spazio e tempo. Quando consideriamo le dimensioni mettiamo la grandezza fisica in questione fra parentesi quadre: [v]. Questo simbolo vuol dire che sto considerando le dimensioni di v.
Allora:
Le dimensioni dello spazio sono quelle di una lunghezza e quella di tempo è ovviamente quella di un tempo.
La velocità dipende dalle grandezze fisiche fondamentali in questo modo: è una lunghezza fratto un tempo.
Questo mi permette anche di attribuire facilmente le unità di misura: se la lunghezza si misura in
metri e il tempo in secondi, l'unità di misura della velocità sarà metri secondi che abbreviato si scrive ms
o anche m/s.
Proviamo a vedere le dimensioni dell'accelerazione:
allora l'unità di misura dell'accelerazione si dovrà scrivere m/s^2.
Supponiamo di voler vedere le dimensioni della velocità media:
Osservate che dal punto di vista dimensionale non si fa, algebricamente, l−l=0 , ma invece l−l=l . Pensateci bene. Che cosa fa una lunghezza meno una lunghezza? Fa una lunghezza. Sette metri meno due metri fa cinque metri.
Bisogna considerare le dimensioni degli oggetti, non dell'algebra nel senso ordinario del termine. Ah, ovviamente le dimensioni di una velocità media sono le stesse di quelle di una velocità. Tra le altre cose i coefficienti puramente numerici (i numeri puri...) vengono trascurati, ovviamente, nel calcolo dimensionale.
Prendiamo ad esempio la legge del moto rettilineo uniformemente accelerato riguardo lo spazio:
Controlliamola dimensionalmente. Il coefficiente 1/2 è un coefficiente numerico e non lo prendiamo in considerazione. Allora l'equazione diventa:
Il membro a sinistra ha le dimensioni di una lunghezza e, ovviamente, anche il membro a destra ha le dimensioni di una lunghezza. Questo tra l'altro ci suggerisce di vedere se una certa formula ricavata da qualche problema è dimensionalmete corretta o se abbiamo fatto qualche errore clamoroso.
Se prendiamo ad esempio la seguente formula e volessimo svolgerla secondo l'analisi dimensionale, verificheremo che la seguente formula è dimensionalmente scorretta:
Ricordarsi che il segno meno o il segno più sono la stessa cosa dal punto di vista dimensionale: una lunghezza meno una lunghezza fa una lunghezza. Una lunghezza più una lunghezza fa una lunghezza.
La correttezza dimensionale di una formula è condizione necessaria ma non sufficiente perché la formula sia corretta. Ovvero esistono formule dimensionalmente corrette ma che sono sbagliate.
Analisi dimensionale della densità
La densità di un oggetto di volume V e massa m e data dalla formula d=m/V, quindi eseguiamo l'analisi dimensionale, sfruttando il risultato precedente, cioe [V] = [l^3], e il fatto che m e una massa, cioe [m] = [m]:
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