Media geometrica & ponderata


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Discorsivamente parlando, la media è un valore numerico che indica il valore tipico di una raccolta di numeri. In altre parole, fra i numeri più grandi e più piccoli della raccolta, indica sinteticamente una "via di mezzo", per avere un'idea approssimativa dei numeri facenti parte della raccolta senza doverli esaminare uno per uno. In matematica, esistono più generi di medie, calcolabili sia su raccolte finite di numeri, sia su quelle infinite.

La media geometrica si usa nei casi in cui i valori campione vengono usati con moltiplicazioni e non con somme; inoltre viene usata per soli valori positivi. Il nome geometrica deriva dal fatto che essa dà, come risultato geometrico, il lato del quadrato (o del cubo, o dell’n-cubo – in n dimensioni) equivalente al rettangolo (parallelepipedo / n-parallelepipedo) che ha per lati i dati presi in esame. Essa si calcola facendo la radice n-esima del prodotto dei valori, dove n è il numero dei valori in esame. In formule:

Media geometrica

Esempio:

Media geometrica

Da notare che, facendo la media geometrica, i valori piccoli hanno un peso non indifferente, e che un solo valore nullo annulla la media.

La media ponderata si usa invece quando bisogna mettere in evidenza il peso differente dei vari dati, come, ad esempio, la media ponderata degli esami universitari con numero di crediti differente. La formula per il calcolo della media ponderata è molto semplice:

Media geometrica

dove l’insieme P rappresenta il peso dei vari dati dell’insieme V (ovviamente con lo stesso ordine).

Proprietà della media geometrica

Il prodotto dei valori x1, x2, …, xn assunti da un insieme di unità statistiche è pari alla potenza n-esima della media geometrica:

Media geometrica

Il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi:

Media geometrica

Media Ponderata

Supponiamo di avere una serie di valori (x1,x2,...,xn) e supponiamo di conoscere con quale frequenza si ripete ognuno di essi (f1,f2,...,fn). Il valor medio (μ) di questa serie di valori sarà data da:

Media geometrica

Ovvero bisogna moltiplicare ogni valore della serie per la sua relativa frequenza ,sommarli tra loro e dividere il tutto per la somma delle frequenze. Questo tipo di media prende il nome di Media Aritmetica Ponderata, conosciuta più comunemente come Media Ponderata. Facciamo ora un esempio di come si calcola una media aritmetica ponderata.

Esempio:

Serie di valori: 1,2,3,4,5
Frequenze: 4,6,3,5,7

Media geometrica

Scenari per media ponderata

Per aver maggiormente chiaro in quali tipologie di casi sia utile utilizzare la media ponderata, qui di seguito ne osserviamo due.

Supponiamo, per esempio, d'avere una scolaresca in gita composta da 17 scolari, di cui otto hanno 10 anni, cinque hanno 9 anni, mentre gli altri quattro hanno 7 anni. Qual è l'età media degli scolari? Calcolando la media semplice si dovrebbe scrivere:

μ = (10+10+10+10+10+10+10+10+9+9+9+9+9+7+7+7+7)/17 = 9

Cioè la scolaresca in gita ha un'età media tonda tonda di 9 anni. Si vede però in modo ovvio che la lunga formula precedente può essere scritta più sinteticamente così:

μ = (10⋅8+9⋅5+7⋅4)/17 = 9

I numeri 8, 5 e 4 sono denominati i pesi dei valori 10 anni, 9 anni e 7 anni, perché, in questo particolare esempio, indicano la frequenza con cui compaiono tali valori. Ma il numero 17, per forza di cose, è la somma dei pesi.

Immaginiamo che, per conto di un grosso negozio di elettrodomestici, sia stato fatto un sondaggio per determinare che cifra, al massimo, un cliente sarebbe disposto a spendere per una lavatrice. Supponiamo che il sondaggio abbia dato questo esito: 150 persone spenderebbero al massimo € 300, 250 persone spenderebbero non più di € 400 e, infine, le rimanenti 100 persone del sondaggio sarebbero disposte a spendere fino a € 600. La media ponderata, basata sulle frequenze, dà come risultato:

μ = (300⋅150+400⋅250+600⋅100)/500 = 410

Ovvero le persone intervistate sono disposte a spendere mediamente fino a € 410 per una lavatrice nuova.

È importante notare che quando si usano le frequenze come pesi, la media ponderata coincide con la media semplice. Il vantaggio, in questo caso, della media ponderata rispetto a quella semplice è che risulta più veloce da calcolare.

Tuttavia, non sempre si usano le frequenze dei valori numerici come peso. Se si adopera qualcos'altro per i pesi, si rientra nel seguente caso:

Immaginiamo ora un altro sondaggio commissionato da una concessionaria milanese per sapere quanto sarebbero disposti a spendere al massimo le persone per un'automobile nuova. Supponiamo che il sondaggio sia stato effettuato in tre località diverse: una è proprio Milano, la seconda è Gorgonzola, che dista dalla concessionaria circa 20 Km, e l'ultima è Bergamo, che invece dista circa il doppio.

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I sondaggi hanno dato, su un centinaio d'intervistati per ciascuna località, i seguenti risultati (medi): € 21.500 per Milano, € 16.100 per Gorgonzola ed € 17.600 per Bergamo. Se il titolare della concessionaria facesse la media semplice dei risultati, otterrebbe:

μ = (21500+16000+176003) = 55200/3 = 18400

Tenendo però conto che gli intervistati nel sondaggio abitano a varie distanze dalla concessionaria, il titolare sarebbe logicamente più interessato all'opinione dei potenziali clienti vicini, quelli milanesi, più che a quelli distanti. Come esprimere questo fatto?

Dando un peso del 100% al totale degli intervistati, si potrebbe fissare arbitrariamente un peso del 60% per quelli di Milano, del 30% per quelli di Gorgonzola e solo del 10% a quelli di Bergamo, che probabilmente per acquistare un'auto si rivolgerebbero ad un'altra concessionaria della loro città. Il titolare può decidere di fissare i pesi secondo una sua valutazione personale, ma può anche dare un'occhiata al registro delle vendite degli anni scorsi, per assegnare i pesi in percentuale basandosi su quante auto hanno acquistato i clienti rispetto ai chilometri di distanza fra la loro residenza e la concessionaria.

In ogni caso, con questi nuovi pesi, la media ponderata diventa:

μ = (21500⋅60+16000⋅30+17600⋅10)/100 = 19490€

Che è di oltre 1000 euro più alta rispetto alla media semplice calcolata prima.

Riassumendo e generalizzando gli esempi appena visti, si può dare adesso una definizione generale di media ponderata.

Sia A=[a1;a2;a3;...;an] una raccolta di n numeri reali, non necessariamente distinti fra loro, dove n è un numero naturale positivo qualsiasi. Se ad ogni numero generico ai di A è associato un valore positivo pi, detto peso di ai, si definisce come media ponderata di A (secondo i pesi P=[p1;p2;p3;...;pn]) il valore μ espresso da:

Media geometrica & ponderata

Da notare che, essendo ogni pi positivo, risulta per forza p1+p2+p3+...+pn≠0, quindi la frazione è ben definita.